ТФКП — краткая теория

Производная обратной функции

• Условия: $w=f(z)$ диф-ма, $f^{\prime }(z_0)\ne 0$.
• Шаги: По Гейне берем $w_n\to w_0$. Из непрерывности $z_n\to z_0$. Рассматриваем $\frac{g(w_n)-g(w_0)}{w_n-w_0}=\frac{z_n-z_0}{f(z_n)-f(z_0)}$. Переход к пределу дает $1/f^{\prime }(z_0)$.

Восстановление аналитической функции по Re/Im

• Условия: $U(x,y)$ гармоническая в односвязной $D$.
• Шаги: Ищем $V(x,y)$. Полный дифференциал $dV=-U_{y}dx+U_{x}dy$. Проверяем условие Грина $P_y=Q_x\Rightarrow -U_{yy}=U_{xx}\Rightarrow \Delta U=0$ (выполнено, т.к. гармоническая). Интегрируем криволинейным интегралом.

Единственность дробно-линейного отображения

• Условия: Переводит $z_1,z_2,z_3$ в $w_1,w_2,w_3$.
• Шаги: От противного: пусть есть $w$ и $\tilde{w}$. Композиция ${\tilde{w}}^{-1}(w(z))=z$ оставляет 3 точки на месте. Уравнение $c{z}^2+(d-a)z-b=0$ имеет 3 корня $\Rightarrow$ все коэфф. нули $\Rightarrow w\equiv \tilde{w}$.

Теорема Коши 1 (односвязная область)

• Условия: $G$ односвязна, $\gamma \subset G$, $f$ аналитична.
• Шаги: $\int fdz=\int udx-vdy+i\int vdx+udy$. Формула Грина. По К-Р подынтегральные выражения $P_y-Q_x$ обнуляются.

Теорема Коши 2 (с выходом на границу) и многосвязная область

• Условия: $f$ анал. в $G$, непр. в $\bar{G}$.
• Шаги: Выход на границу: Контур ${\gamma }_{\epsilon }$ внутри $G$. По Коши-1 ${\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}=0$. Из-за равномерной непрерывности $|{\int }_{\partial G}-{\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}|<\epsilon \Rightarrow {\int }_{\partial G}=0$. Многосвязная: Разрезы от внешней границы к внутренним. Область стала односвязной. Интегралы по разрезам (туда-обратно) сокращаются. Остается ${\int }_{\partial G}=0$.

Интегральная формула Коши

• Условия: $f$ анал. в $G$, непр. в $\bar{G}$.
• Шаги: Окружаем $z$ кружком $K_r$. По Коши для многосвязной ${\int }_{\partial G}={\int }_{K_r}$. В числителе $\pm f(z)$. Интеграл ${\int }_{K_r}\frac{d\xi }{\xi -z}=2\pi i$. Остаток $\le \frac{\max |f(\xi )-f(z)|}{r}\cdot 2\pi r\to 0$ (непрерывность).

Теорема Тейлора

• Условия: $f$ анал. в круге $U_R(a)$.
• Шаги: Интегральная формула Коши. Дробь $\frac{1}{\xi -z}=\frac{1}{\xi -a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{\xi -a}}$. Т.к. $|z-a|<|\xi -a|$, это убывающая геом. прогрессия. Равномерная сходимость $\Rightarrow$ почленное интегрирование $\Rightarrow$ формула Коши для производных.

Достаточные условия существования первообразной

• Условия: $f$ непр., $\oint fdz=0$.
• Шаги: $F(z)={\int }_a^{z}fd\xi$ не зависит от пути. Ищем $F^{\prime }(z)$: $\frac{\Delta F}{\Delta z}-f(z)=\frac{1}{\Delta z}{\int }_z^{z+\Delta z}(f(\xi )-f(z))d\xi$. Оцениваем модуль $\le \max |f(\xi )-f(z)|\to 0$ (в силу непрерывности).

Формула Ньютона-Лейбница

• Условия: $F_1,F_2$ - первообразные.
• Шаги: Разность $h=F_1-F_2\Rightarrow h^{\prime }\equiv 0$. Коэфф. Тейлора $c_n=0\Rightarrow h=const$. В односвязной $g(z)={\int }_a^{z}fd\xi$. ${\int }_b^{c}fdz=g(c)-g(b)$. Подставляем $g(z)=F(z)+C\Rightarrow F(c)-F(b)$.

Теорема Лорана

• Условия: $f$ анал. в кольце.
• Шаги: Формула Коши для кольца: $I_{внеш}-I_{внутр}$. $I_{внеш}$: $|z-a|<|\xi -a|\Rightarrow$ геом. прогрессия $\Rightarrow$ положительные степени. $I_{внутр}$: $|\xi -a|<|z-a|$. Выносим $-(z-a)\Rightarrow$ прогрессия со знаменателем $\frac{\xi -a}{z-a}$. Интегрируем $\Rightarrow$ отрицательные степени.

Единственность ряда Лорана

• Условия: Два разложения одной функции.
• Шаги: Приравниваем два ряда. Умножаем на $(z-a{)}^{-m-1}$, интегрируем по окружности. $\int (z-a{)}^{k}dz=0$ ($k\ne -1$) и $2\pi i$ ($k=-1$). Все обнуляется, кроме $n=m\Rightarrow c_m={\tilde{c}}_m$.

Связь типа особой точки и ряда Лорана

• Условия: $a$ — изолированная особая точка.
• Шаги: Устранимая: Предел конечен $\Rightarrow$ ограничена ($M$). Неравенство Коши $|c_{-k}|\le M{r}^k\stackrel{r\to 0}{\to }0$. Главной части нет. Полюс $m$: Умножаем на $(z-a{)}^m\Rightarrow$ предел конечен $\ne 0$ (устранимая). Ряд Тейлора делим на $(z-a{)}^m\Rightarrow$ обрывается на $-m$. Существенная: Методом исключения.

Формула вычета в полюсе $m$-го порядка

• Условия: $a$ — полюс порядка $m$.
• Шаги: Ряд Лорана от $c_{-m}$. Умножаем на $(z-a{)}^m\Rightarrow$ $c_{-1}$ стоит при $(z-a{)}^{m-1}$. Дифференцируем $m-1$ раз $\Rightarrow$ младшие нули, $c_{-1}$ умножается на $(m-1)!$. Предел $z\to a\Rightarrow$ старшие нули. Делим на $(m-1)!$.

Теорема Коши о вычетах

• Условия: $f$ анал. всюду, кроме конечного числа ИОТ.
• Шаги: Изолируем особые точки $a_k$ кружками ${\gamma }_k$. В многосвязной области особых нет $\Rightarrow {\int }_{\partial G}+\sum {\int }_{{\gamma }_k^{-}}=0$. Переносим вправо, меняем обход на ${\gamma }_k^{+}$. По определению это $2\pi i\cdot {\text{res}}_{a_k}$.

Теорема о сумме вычетов (включая $\infty$)

• Условия: $f$ анал. на $\mathbb{C}$, кроме конечного числа ИОТ.
• Шаги: Окружаем все точки огромным кругом ${\gamma }_R$. Внутри $\sum \text{res}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_R^{+}}$. Снаружи особых нет, ${\int }_{{\gamma }_R^{-}}$ (по часовой) — это ${\text{res}}_{\infty }$. ${\int }_{{\gamma }_R^{+}}=-{\int }_{{\gamma }_R^{-}}\Rightarrow \sum \text{res}=-{\text{res}}_{\infty }$.

Вычисление несобственных интегралов (рациональные дроби)

• Условия: Ст. знаменателя $\ge$ ст. числителя + 2.
• Шаги: Замыкаем $[-R,R]$ дугой $C_R^{+}$ в верхней полуплоскости. ${\int }_{[-R,R]}+{\int }_{C_R^{+}}=2\pi i\sum \text{res}$. Оценка дуги: $|f(z)|\le \frac{M}{R^2}$. Интеграл $\le \frac{M\pi }{R}\stackrel{R\to \infty }{\to }0$.

Лемма Жордана

• Условия: ${\max }_{C_R^{+}}|\phi (z)|\to 0$.
• Шаги: Оценка ${\int }_{C_R^{+}}\phi (z)e^{i\alpha z}dz$. $|e^{i\alpha z}|=e^{-\alpha R\sin \phi }$. Симметрия синуса ($2{\int }_0^{\pi /2}$) и $\sin \phi \ge \frac{2}{\pi }\phi$. Интегрируем экспоненту $\Rightarrow$ множитель $\frac{\pi }{\alpha }(1-e^{-\alpha R})$. Т.к. $\max |\phi |\to 0$, интеграл $\to 0$.

Теорема существования изображения (Лаплас)

• Условия: $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$.
• Шаги: Критерий Коши для ${\int }_0^{\infty }f(t)e^{-pt}dt$. Мажорируем: под интегралом $e^{(\alpha -\text{Re}p)t}$. При $\text{Re}p>\alpha$ экспонента отрицательная $\Rightarrow$ при больших $t_1,t_2$ интеграл $<\epsilon$.

Интегрирование изображения

• Условия: $f(t)\doteq F(p)$, существует $\lim \frac{f(t)}{t}$.
• Шаги: Пусть $\tilde{G}(p)\doteq \frac{f(t)}{t}$. Умножим на $t\Rightarrow f(t)\doteq -{\tilde{G}}^{\prime }(p)$ (диф-ние изображения). По условию $f(t)\doteq F(p)\Rightarrow {\tilde{G}}^{\prime }(p)=-F(p)$. Интегрируем: $\tilde{G}(p)={\int }_p^{\infty }F(q)dq$ (т.к. $\tilde{G}(\infty )=0$).

Изображение свёртки

• Условия: $(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$.
• Шаги: Пишем интеграл Лапласа (двойной интеграл). Меняем порядок интегрирования: $0\le \tau <\infty$, $\tau \le t<\infty$. Замена $u=t-\tau \Rightarrow$ интегралы расцепляются на $\int g(\tau )e^{-p\tau }d\tau \cdot \int f(u)e^{-pu}du=G(p)F(p)$.