Особые точки и вычеты — задачи

ЗАДАЧА 1: Особые точки и вычеты

Цель: Найти нули знаменателя и посчитать вычеты.

1. Классификация:

• Приравниваем знаменатель к нулю $\to$ получаем точки $z_0$.
• Степень скобки $(z-z_0{)}^n$ в знаменателе — это порядок полюса ($n$).

2. Формулы вычета ($Res$):

• Лайфхак для $n=1$ (простой полюс): $Res(z_0)=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$ (числитель делить на производную знаменателя).
• Для $n>1$ (полюс $n$-го порядка): $Res(z_0)=\frac{1}{(n-1)!}{\lim }_{z\to z_0}{\left[f(z)\cdot (z-z_0{)}^n\right]}^{(n-1)}$ (Алгоритм: зачеркни скобку в знаменателе $\to$ возьми $n-1$ производных $\to$ подставь $z_0$).

---

ЗАДАЧА 2: Контурный интеграл + Существенно особая точка

Цель: Посчитать интеграл с $\sin (1/z)$ или $e^{1/z}$ внутри контура.

1. Проверка: Убедись, что особая точка (где знаменатель $=0$) лежит внутри заданного контура $|z|=R$.
2. Замена: Введи $t=z-z_0$ (чтобы особая точка ушла в $0$).
3. Многочлен: Возведи первую скобку в квадрат/куб по обычным правилам алгебры.
4. Ряд: Разложи “проблемную” функцию в ряд Тейлора:
   • $\sin (1/t^2)=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{3!t^6}+\frac{1}{5!t^{10}}-\dots$
   • $e^{a/t}=1+\frac{a}{t}+\frac{a^2}{2!t^2}+\frac{a^3}{3!t^3}+\dots$
5. Поиск $c_{-1}$: Найди, какие слагаемые из многочлена при умножении на слагаемые из ряда дадут степень $1/t$. Сложи их коэффициенты. Это твой вычет $Res$.
6. Ответ: $\oint =\pm 2\pi i\cdot Res$.
   • АЛЕРТ! Если обход против часовой $\to$ знак «$+$». Если по часовой $\to$ знак «$-$».

---

ЗАДАЧА 3: Несобственные интегралы (выпадет один из трех)

Вариант 3.1: Интеграл без синусов ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P(x)}{Q(x)}dx$

1. Замени $x\to z$. Найди корни знаменателя $Q(z)=0$.
2. Сортировка корней:
   • $Im<0$ (внизу) $\to$ Игнорируем.
   • $Im>0$ (наверху) $\to$ Вычет умножаем на $2\pi i$.
   • $Im=0$ (на оси) $\to$ Вычет умножаем на $\pi i$.
3. Сложи полученное. (Вычеты считай по лайфхаку $P/Q^{\prime }$).

Вариант 3.2: Интеграл с $\sin (ax)$ или $\cos (ax)$

1. Замени $\sin (ax)$ или $\cos (ax)$ на ${\mathbf{e}}^{\mathbf{iaz}}$.
2. Для оформления (копипаст препода): Напиши фразу: “Пусть $h(z)=\text{наша дробь без экспоненты}$. Так как степень знаменателя больше степени числителя, то $h(z)\to 0$ при $z\to \infty$. По лемме Жордана интеграл по большой дуге равен 0.”
3. Сортируй корни и считай сумму вычетов точно так же, как в п. 3.1. Получишь комплексный ответ $J$.
4. Распиши все $e^{i\alpha }$ в ответе как $\cos \alpha +i\sin \alpha$.
5. Финал:
   • Был $\sin \to$ выпиши в ответ только то, что умножается на $i$ (саму $i$ не пиши!).
   • Был $\cos \to$ выпиши в ответ всё, что БЕЗ $i$.

ЗАДАЧА 4: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА (Диффуры)

Цель: Свести производные к алгебре и вернуться обратно.

ШАГ 1: Перевод в $p$-мир

• $y\risingdotseq F(p)$
• $y^{\prime }\risingdotseq pF-y(0)$
• $y^{\prime \prime }\risingdotseq p^{2}F-py(0)-y^{\prime }(0)$
• $y^{\prime \prime \prime }\risingdotseq p^{3}F-p^{2}y(0)-p{y}^{\prime }(0)-y^{\prime \prime }(0)$
• Правую часть переводим по таблице. Главная формула со сдвигом: $x^n{e}^{\lambda x}\risingdotseq \frac{n!}{(p-\lambda {)}^{n+1}}$

ШАГ 2: Изоляция $F(p)$ (АЛГЕБРА)

• Подставь всё в уравнение. Сгруппируй $F(p)$ слева, всё остальное перенеси вправо.
• Подели на скобку, стоящую перед $F(p)$.
• АЛЕРТ (Требование препода): НЕ ПРИВОДИ правую часть к общему знаменателю! Оставь в виде суммы отдельных дробей.

ШАГ 3: Возврат в $x$-мир (Обратное преобразование) Применяем нужный метод для каждой отдельной дроби:

• МЕТОД 1: Базовые скобки из таблицы Если дробь вида $\frac{\alpha }{(p-\lambda {)}^n}$: $\frac{\alpha }{(p-\lambda {)}^n}\risingdotseq \alpha \cdot \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{\lambda x}$

• МЕТОД 2: Комплексные корни (Квадратный трехчлен) Если дробь вида $\frac{cp+d}{p^2+2ap+b}$:

  1. Выдели полный квадрат в знаменателе: $(p+a{)}^2+{\omega }^2$.
  2. Подгони числитель под скобку $(p+a)$: $c(p+a)+(d-ca)$.
  3. Примени формулу (переход к синусам/косинусам): $\frac{cp+d}{(p+a{)}^2+{\omega }^2}\risingdotseq e^{-ax}\left[c\cdot \cos (\omega x)+\frac{d-ca}{\omega }\cdot \sin (\omega x)\right]$

• МЕТОД 3: Интегрирование (Метод твоего препода) Если перед скобкой болтается лишний $p$, например $\frac{1}{p(p-\lambda {)}^n}$:

  1. Мысленно “оторви” $p$ снизу. Переведи оставшуюся часть $\frac{1}{(p-\lambda {)}^n}$ в функцию $f(t)$ по МЕТОДУ 1.
  2. Напиши интеграл от 0 до $x$: ${\int }_0^{x}f(t)dt$.
  3. Вычисли этот интеграл (скорее всего, по частям: $\int udv=uv-\int vdu$). То, что получится после подстановки пределов $[0,x]$ — это и есть ответ для этой дроби.

ШАГ 4: Финал Сложи полученные ответы от всех дробей. Упрости (константы и младшие степени $x$ должны взаимно уничтожиться). Запиши итоговый $y(x)$.